Implicit Function Theorem

定义 Definition

implicit function theorem（隐函数定理）：数学分析与微分几何中的一个基本定理。它说明：在一定的可微条件下，如果一个方程（或方程组）\(F(x,y)=0\) 在某点附近满足合适的“非退化”条件（常见表述为对 \(y\) 的偏导/雅可比不为零或可逆），那么就可以在该点附近把 \(y\) 表示为 \(x\) 的函数 \(y=f(x)\)，并且这个函数具有相应的连续性与可微性。

发音 Pronunciation (IPA)

/ɪmˈplɪsɪt ˈfʌŋkʃən ˈθiːərəm/

例句 Examples

The implicit function theorem lets us solve for \(y\) as a function of \(x\) near the point.
隐函数定理让我们在该点附近把 \(y\) 视为 \(x\) 的函数来求解。

Using the implicit function theorem, we can prove that the constraint \(g(x,y,z)=0\) defines a smooth surface locally when the relevant Jacobian is nonzero.
利用隐函数定理，当相应的雅可比行列式不为零时，我们可以证明约束 \(g(x,y,z)=0\) 在局部定义了一张光滑曲面。

词源 Etymology

implicit 源自拉丁语 implicare，意为“缠绕在内、包含其中”，引申为“未明说但包含在内的”，对应“隐式”。
function 源自拉丁语 functio，意为“执行、作用”，后来用于表示“函数/功能”。
theorem 源自希腊语 theōrēma，意为“经观察得到的结论”，在数学中指“可证明的定理”。

文学与著作中的出现 Literary Works

Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis（《数学分析原理》）：在多元微分与局部性质相关章节中讨论隐函数定理。
Michael Spivak, Calculus（《微积分》）：以几何直观与严格证明相结合的方式介绍隐函数思想与相关结论。
Tom M. Apostol, Mathematical Analysis（《数学分析》）：在多元分析部分系统呈现隐函数定理及其应用。
Loomis & Sternberg, Advanced Calculus（《高等微积分》）：将隐函数定理作为多元微积分与流形理论的关键工具之一。
Frank W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups（《可微流形与李群基础》）：用隐函数定理建立子流形的局部刻画与坐标化方法。