Weierstrass Theorem

释义 Definition

“魏尔斯特拉斯定理”的常见指代有两类（在数学分析中都很重要）：

魏尔斯特拉斯逼近定理（Weierstrass approximation theorem）：任意定义在闭区间 \([a,b]\) 上的连续函数，都可以被多项式在该区间上一致逼近到任意精度。
魏尔斯特拉斯极值定理（Extreme Value Theorem）：连续函数在紧致集合（如闭区间 \([a,b]\)）上一定能取到最大值和最小值。
在不同教材里，“Weierstrass theorem”可能指其中之一，具体要看上下文。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈvaɪərstræs ˈθiːərəm/

例句 Examples

The Weierstrass theorem explains why polynomials can approximate continuous functions.
魏尔斯特拉斯定理解释了为什么多项式可以逼近连续函数。

Using the Weierstrass theorem, we can choose a polynomial that uniformly approximates \(f(x)\) on \([0,1]\) within \(10^{-6}\), which justifies the numerical scheme’s convergence.
利用魏尔斯特拉斯定理，我们可以选取一个多项式在 \([0,1]\) 上将 \(f(x)\) 以一致方式逼近到 \(10^{-6}\) 的误差，从而证明该数值方法的收敛性。

词源 Etymology

“Weierstrass”来自德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass, 1815–1897）的姓氏，他对现代分析的严密化贡献极大；“theorem”源自希腊语 theōrēma，意为“可被证明的命题/定理”。“魏尔斯特拉斯定理”这一说法通常是对其相关核心结果的统称或简称。

文学与名著出处 Literary Works

Walter Rudin，《Principles of Mathematical Analysis》（《数学分析原理》）中讨论紧致性与极值定理时常提及（与魏尔斯特拉斯相关结果并置）。
Tom M. Apostol，《Mathematical Analysis》（《数学分析》）中在一致收敛与函数逼近章节出现（含魏尔斯特拉斯逼近定理）。
E. W. Cheney，《Introduction to Approximation Theory》（《逼近论导论》）中系统使用魏尔斯特拉斯逼近定理作为基础结果。
Karl Weierstrass 的相关原始论文（19 世纪后期）中提出并推动了这些分析核心思想，后被整理为现代教材中的定理表述。