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    二手交易  •  Voyty  •  Jan 15, 2020  •  Lastly replied by drlalll
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    Voyty's recent replies
    分子
    Copilot 也是下个月付费,已经取消订阅的,然后 ChatGPT 也取消了,打算订阅 Claude 了
    Aug 30, 2024
    Replied to a topic by sleepyfevniv macOS 来说说 Mac 比起 Windows 笔记本好在哪里

    这字体看不出来区别吗
    看着不错
    @Sfilata #38 老哥,甩个链接啊
    @Sfilata #38 老哥,甩个链接看看
    Apr 25, 2024
    Replied to a topic by Persimmon08 OpenAI 这个问题,大家的 GPT 都能答对吗?
    为了找到函数 \( y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) \) 当 \( x \) 趋近于 0 和正无穷时的极限,我们可以分别考虑这两种情况。

    ### 当 \( x \) 趋近于正无穷时

    首先,令 \( u = \frac{1}{x} \),那么当 \( x \to \infty \) 时,\( u \to 0 \)。此时,函数可以重写为:
    \[ y = \frac{\ln(1 + u)}{u} \]
    其中 \( u = \frac{1}{x} \)。

    当 \( u \to 0 \) 时,我们可以使用泰勒展开( Taylor expansion )对 \(\ln(1+u)\) 进行近似:
    \[ \ln(1 + u) \approx u \]
    因此,
    \[ \frac{\ln(1 + u)}{u} \approx \frac{u}{u} = 1 \]

    所以当 \( x \to \infty \) 时,\( y \) 趋近于 1 。

    ### 当 \( x \) 趋近于 0 时

    这部分需要小心处理。当 \( x \to 0^+ \)(从正数一侧接近 0 )时,\( u = \frac{1}{x} \to \infty \)。此时,我们同样考虑 \( \ln(1 + u) \):

    当 \( u \to \infty \) 时,\(\ln(1+u)\) 的增长速度慢于 \( u \) 本身。因此,
    \[ \ln(1 + u) \approx \ln(u) \]
    所以,
    \[ y = \frac{\ln(1 + u)}{u} \approx \frac{\ln(u)}{u} \]

    我们知道对于很大的 \( u \),\( \ln(u) \) 相对于 \( u \) 增长得慢得多。实际上,由于
    \[ \lim_{u \to \infty} \frac{\ln(u)}{u} = 0 \]
    (这可以通过洛必达法则或者直观理解 \(\ln(u)\) 的增长速度不及 \( u \) 的增长速度来证明。)

    因此,当 \( x \to 0^+ \) 时,\( y \to 0 \)。

    ### 总结
    - 当 \( x \to \infty \) 时,\( y \to 1 \)。
    - 当 \( x \to 0^+ \) 时,\( y \to 0 \)。
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